Айболит с попугаем и хомяком повез в Африку 4 бочки лекарств. По дороге, в одну из бочек, Бармалей подсыпал снотворное, которое срабатывает через час. У Айболита всего 2 помощника. Айболит может из каждой бочки налить лекарство только 1 раз любому помощнику, причём он должен это сделать сразу обоим, а не по очереди (то есть, не ждать результатов, чтобы дать следующему).

Подсказка №1

Пронумеровать бочки, 1, 2, 3, 4.

Подсказка №2

Возможны 4 исхода: 1) заснул 1-ый помощник, 2) заснул 2-ой помощник, 3) заснули оба и 4) не заснул ни один.

На фабрике изготовили партию фломастеров. Если эту партию фломастеров раскладывать по коробкам по 6 фломастеров, то останутся три фломастера, если по 7, то останутся 4, а если по 8, то останется 1 фломастер. Известно, что в партии не более 350 фломастеров.

Подсказка №1

Задача эквивалентна системе сравнений X ≤ 350

Подсказка №2

Решение последнего сравнения Х=8k+1, k=0,1,2…. подставляем во 2-ое:

(8k+1)mod7=kmod7+1≡4, k=3⇒X=25+56m; подставляем во 1-ое.

Пусть AA1 и BB1 – высоты в треугольнике АВС, Н – точка их пересечения (ортоцентр треугольника АВС), М – середина стороны АВ.

Подсказка №1

АNBH – параллелограмм.

Подсказка №2

Угол ANB = Угол AHB= Угол B 1 HA 1 , a CB 1 HA 1 – вписанный.

Между вокзалом и аэропортом курсируют такси, каждое из которых имеет свой порядковый номер – 1, 2, … Движение организовано так, что такси отъезжает от вокзала в 6:00, а за ним с интервалом в 7 минут начинают работу согласно своим номерам остальные машины.

После начала работы каждое такси курсирует туда и обратно независимо от остальных, делая стоянки в течение 5 минут по прибытии в любой из пунктов назначения.

Известно, что каждое такси, отправляясь к аэропорту и обратно, тратит на первый километр пути 2 мин. А на каждый последующий километр на 1/9 мин. меньше, чем на предыдущий. Пассажир отъехал от аэропорта в 9 часов 44 минуты.

Старинная индийская задача.
Пчёлы в числе, равном квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст жасмина, оставив позади себя восемь девятых роя. И только одна пчёлка из того же роя кружится возле лотоса, привлечённая жужжанием подруги, неосторожно попавшей в западню сладко пахнувшего цветка.

Подсказка №1

Уравнение +х+2=Х моделирует эту задачу и приводится к виду:

81х=2х² -72х+8×81

Подсказка №2

Поскольку Х по смыслу задачи должно быть натуральным числом, отсюда видно, что Х должен быть чётным и делиться на 9: х=2×9k. После подстановки получаем, что и к должно делиться на 4, k=4m.

В треугольник АВС вписана окружность.
Она касается его сторон АС и АВ в точках М и N соответственно.
В треугольник АМN вписана ещё одна окружность.

Директор и его заместитель приходят в случайный момент времени ежедневно между 9 и 10 часами утра в кабинет завуча, причём ждут друг друга 5 минут, после чего уходят из кабинета.

Подсказка №1

Пусть t=5минут. Тогда время появления директора х и его зама y подчиняются условию: 0 больше или равно x, y больше или равно 12 и описывются точками (х,y) квадрата 12×12.

Подсказка №2

Директор и его зам встречаются, если только |x-y| больше или равно 1. Вероятность их встречи равна отношению площади этой полосы по отношению к площади всего квадрата.

На множестве Z целых чисел определена некоторая операция *, обладающая только двумя следующими свойствами:
а) m*m=0 "mîZ и
б) m*(n*k)=(m*n)+k " m,n,k î Z

Подсказка №1

m*0=m*(m*m)=m

Подсказка №2

m*1 +1=m*(1*1)=m, следовательно в m*1=m-1

АВСD – параллелограмм; из противоположных вершин В и D внутрь его под одинаковыми углами к соседним сторонам проведены лучи ВЕ и DF (CBE=CDF). Из другой пары противоположных вершин А и С внутрь его под одинаковыми углами к соседним сторонам проведены лучи АЕ и СF (DAE=DCF). {E}=BEAE, {F}=DFCF.