Как методика Абрамсона помогает выучить математику?

«...В детстве, решая знакомые всем постигающим основы арифметики задачки о человеке, который добирается из одного города в другой, то и дело меняя транспорт, а значит, и скорость передвижения, я всегда расспрашивал учителя о характере вымышленного путешественника, его возрасте, склонностях, привычках и цели поездки.
Бедняге приходилось импровизировать на ходу; в зависимости от сочиненных им подробностей менялся мой ответ, потому что в одних случаях я делал поправки на задержки в трактирах и болтовню с друзьями, в других, напротив, увеличивал скорость, указанную в условиях. Ясно же, что, когда человек по-настоящему спешит, его желанию успеть повинуются не только собственные ноги и кони, но даже амобилеры и корабли…» Макс Фрай, «Тубурская игра»

Почему школьникам сложно начинать учить математику?
Ответов сразу несколько.

Движущей силой развития математики изначально были практические запросы: подсчёт площадей и форм участков земли с учётом их плодородности, навигации для мореплавания, строительства и т.д. А для этого нужны были вполне определённые разделы математики, вовсе не обязательно самые простые.

Это может звучать парадоксально, но логика изучения предмета не тождественна последовательности этапов его развития.

Так, например, дроби появляются в школьной программе раньше целых отрицательных чисел только потому, что исторически дроби раньше возникли — как ответ на потребности торговли и земледелия. Но отрицательные числа проще в обращении (надо всего-навсего запомнить, что минус на минус даёт плюс).

Кроме того, поскольку тема сложения/вычитания предшествует теме умножения/деления, гораздо разумнее было бы поставить изучение целых отрицательных чисел перед изучением дробей, которые без деления понять невозможно.

Также до появления дробей можно научиться решать и системы уравнений, только целые коэффициенты при неизвестных учитель подбирает так, чтобы решения тоже были целыми. Можно уже в начальной школе научить детей складывать и умножать на целые числа векторы, а если ещё добавить к целым числам половинки (полуцелые числа), то можно находить и площади некоторых многоугольников.

Позже, с появлением дробей, детям гораздо проще использовать их в уже знакомых им алгоритмах, суть которых они проработали на более доступном материале и хорошо понимают.

Ещё один аспект обучения математике с нуля — время знакомства с разными системами счисления. Традиционная школьная программа сразу загоняет ученика в рамки десятичной системы. Между тем для того, чтобы наглядно продемонстрировать с её помощью хотя бы третий разряд — разряд сотен, ребёнку потребуется связка из 100 палочек (или 10 связок по 10 палочек в каждой). Непростая задача, особенно если учесть, что для лучшего усвоения вязать эти снопы дети должны самостоятельно.

В двоичной системе для изображения даже пятизначного числа не потребуется более 63 кубиков, т.е. можно наглядно составлять многозначные числа и оперировать с ними.

Таким образом, десятичная система становится не единственно возможным, а лишь одним из нескольких вариантов записи числа, который был выбран только потому, что когда-то люди считали по пальцам (не случайно осталось выражение «по пальцам пересчитать»).

В этой же логике выстроена вся методика: здесь новое осваиваемое действие или понятие является органичным продолжением предыдущего. Такая последовательность позволяет учащимся увидеть математику не как набор разрозненных открытий прошлого, которые воспринимаются как неизменная данность без пространства для творчества, а как стройную систему, законы которой они понимают и могут сознательно оперировать ими для решения собственных задач. Это сильно облегчает детям понимание предмета и помогает им полюбить математику.

Благодаря тому, что метод учитывает особенности психологии обучения, дети естественно и без труда переходят от освоения готовых алгоритмов решения к созданию собственных. Это развивает у учащихся критическое мышление, привычку думать и искать различные, возможно, неординарные пути решения задач, что в конечном итоге проявляется не только в математике, но и в других областях знания, а порой и в обычной жизни.

Уникальный метод появился во многом благодаря удачному стечению обстоятельств. Первым из этих обстоятельств стала случайность: вслед за другом, чуть ли не взявшим Якова «на слабо», шестиклассник Абрамсон попадает в специализированную математическую школу. Вторым — то, что дед Якова, Пётр Гальперин, был профессором психологии, настоящим профессионалом, увлечённым своим делом. Таким образом, взросление и формирование личности будущего автора революционного метода происходило под влиянием в равной степени как математики, так и психологии.

Яков всегда интересовался психологией, и хотя он связал свою жизнь с точными, а не с гуманитарными науками, косвенно он продолжил дело своего деда, применив его теорию на практике и встроив её в свой метод преподавания математики.

В середине XX века профессор П.Я. Гальперин создал Теорию поэтапного формирования умственных действий и понятий. Согласно этой теории выделяются три типа обучения:

1. Метод проб и ошибок. Этот метод популярен в американских школах и известен как Guess and Check. По временным затратам он малоэффективен, но, к примеру, в школах системы Монтессори является единственно признанным.

2. Готовые алгоритмы. Это специально разработанная технология обучения навыкам и умениям по заданным схемам, своего рода дрессировка. Этот метод максимально эффективен с точки зрения временных ресурсов и быстрого достижения результата. Проблема
в том, что творческий потенциал ученика не развивается — зачем что-то изобретать, если можно и нужно следовать шаблону.

3. Создание алгоритмов. В процессе такого обучения алгоритм строится самим учеником, это сложный метод, сочетающий в себе элементы первых двух типов.

Пошаговое обучение детей математике по методу Абрамсона строится на сочетании второго и третьего типов. В первые два года учёбы иногда используются готовые алгоритмы. Поскольку у детей младшего школьного возраста способность к повторению одних и тех же действий гораздо выше, они получают видимое удовольствие от самого факта успешного выполнения алгоритма. Кроме того, активно используются задачи на построение разного рода конструкций, задачи на разрезания, переправы, зачёркивание данного набора точек непрерывным росчерком пера в виде ломаной линии из заданного числа звеньев и др.

Такое построение урока воспринимается как игра, и именно за счёт игрового характера уроков дети способны оперировать абстрактными понятиями. Для поддержания у учеников творческого начала и их эмоциональной вовлечённости в занятия математикой в программу на регулярной основе включаются логические задачи и так называемые «задачи на смекалку».

По мере взросления учеников центр тяжести постепенно перемещается с вопроса «как решать?» на вопрос «почему решаем так, а не иначе, какие есть варианты?», синтез уступает место анализу. В это время готовые алгоритмы сменяются авторскими: учащиеся начинают под руководством учителя сами искать эффективные способы решения той или иной задачи.

Безусловно, могут, более того, поскольку мозг взрослого человека больше и работает он быстрее, взрослому занятия математикой по методу Абрамсона будут даваться ещё легче, чем детям.

Единственным препятствием может стать то, что у взрослого уже имеются сложившиеся и зачастую ложные представления о математике и влиять на них достаточно тяжело. Помочь здесь может открытость новым знаниям и готовность приложить усилия, чтобы сознательно изменить собственные привычные установки.

По форме и продолжительности занятия рассчитаны на учеников младшей школы, однако это вряд ли станет помехой, скорее наоборот, облегчит понимание для тех взрослых, которые решили повысить свой уровень знания математики или решили начать учить математику с нуля. Благодаря удобной для восприятия внутренней логике подачи материала курса Абрамсона, где одна тема вытекает из другой, и взрослым, и ученикам старшей школы, которые хотят подтянуть основы математики, будет достаточно легко вспомнить, переосмыслить и наконец-то понять то, что они уже учили, но вовремя не разобрали и забыли.

При проведении занятий в начальной школе автор метода отказался от традиционных тетрадей и ручек. Вместо них используются пластиковые доски, разлинованные с одной стороны в клеточку, фломастеры и тряпочки для стирания написанного.

Дело в том, что кисти детей неуверенно держат карандаши и авторучки, на аккуратное писание в тетрадях уходит слишком много драгоценного учебного времени, кроме того, для любого мозга контроль непривычных действий — это лишнее напряжение, отвлекающее от выполнения главной задачи. Не имея возможности писать удобным для них способом, дети быстрее устают и теряют способность концентрироваться на теме урока.

Как упоминалось выше, знакомство с системами счисления происходит в материализованной форме — в качестве наглядного материала используются кубики, разлинованные листы или пластиковые доски. Числа при этом обозначают понятные детям объекты: например, число мышек или кошек.

При вычислениях в двоичной системе две мышки приравниваются к одной кошке, две кошки — к одной собаке, две собаки — к одной лисе, две лисы — к волку и т.д. Вычисления ведутся «вручную», на кубиках, путём перегруппировки «кошек», «собак» и т.д.

Изучение сложения также начинается с двоичной системы, поскольку в её рамках оно особенно просто и наглядно. Здесь числа представлены уже поразрядно и складываются отдельно — мышки с мышками, кошки с кошками, чтобы сумма сразу получилась в той же системе счисления. Эта процедура сложения «в столбик» усваивается на «длинных» числах куда быстрее, чем на коротких, поэтому не имеет смысла начинать со сложения двузначных и трёхзначных чисел, нужно сразу же переходить к сложению многозначных (по 10 и более разрядов) чисел.

Представим, что нам нужно записать двоичное число 10011 в виде животных. При этом единицы и нули означают не количество животных, а их наличие: 1 — животное есть, 0 — животного нет.

Самое крупное животное располагается слева, а самое мелкое — справа (в десятичной системе мы записываем точно так же: в цифре 51 слева у нас крупная величина — десятки, справа — мелкая, единицы).

Итак, перед нами число 10011. Мы знаем, что цифра справа — самый маленький зверь, мышка, и видим, что справа стоит цифра 1 — значит, мышка есть. Слева ещё одна единица — это одна кошка. А вот дальше стоит 0 — это значит, что следующего по крупности животного, собаки, нет. Ещё один ноль означает, что нет и лисы, а самая левая единица означает одного волка.

Нельзя сказать, что все ученики, проходящие обучение у Абрамсона, изначально отличаются выдающимися математическими способностями. Однако они успешно участвуют и побеждают в математических олимпиадах, порой превосходя не только одарённых ровесников, но и более старших детей. В чём здесь секрет? Дело в том, что пока другие следуют школьной программе, ученики Абрамсона за то же время проходят множество разных тем и в результате знают больше, чем их сверстники.

Кроме того, и это, пожалуй, главное, дети приучаются ориентироваться в новой, незнакомой ситуации, поскольку такие ситуации часто возникают на уроках и требуют большого напряжения интеллектуальных сил — как раз именно то, с чем им приходится иметь дело на олимпиадах.

За один год обучения по методу Абрамсона дети проходят сложение, вычитание, умножение, деление (с остатком), начала геометрии, площади, логические задачи и многое другое.

Во втором классе они осваивают действия с отрицательными числами, построение функций, операции с ними, преобразования графиков, сложение и умножение многочленов, формулы сокращённого умножения, перестановки, геометрию.

Эти дети умеют осмысленно пользоваться математическими знаниями, поэтому олимпиады по математике, а порой и по другим точным наукам даются им достаточно легко, и обычные дети становятся призёрами олимпиад.

Обучение математике ведётся на нашем сайте в онлайн-формате, поэтому маленьким детям потребуется помощь взрослого. Нужно научить ребёнка заходить на платформу, просматривать видео, помочь разобраться с текстом.

Если ребёнку уже исполнилось 7 лет, попробуйте с ним дополнительные задания. Их можно распечатать, сделать вместе с ребёнком, а потом посмотреть на сайте пройденную тему: ход решения и правильные ответы — порадоваться тем заданиям, которые получились, и разобраться с тем, что вызвало сложности.

Обратите внимание: ребёнок не должен утомляться в процессе учёбы, занятия не должны надоедать. Пусть лучше будет по 20 минут и в радость, чем утомительное долгое высиживание. А если вы видите, что ребёнок уже устал, лучше не предлагайте ему заниматься в этот день. При этом лучше сохранять высокую частоту занятий — несколько раз в неделю, чтобы не создавать больших перерывов.

Как правило, психологический барьер при изучении предмета возникает после того, как человек потерпел в изучении этого предмета неудачу.

Главный совет в данной ситуации таков: и ребёнку, и взрослому человеку в этой связи важно понять - ошибаться нормально! Никто не достигает хороших результатов без того, чтоб учиться на своих ошибках.

Детям в такой ситуации очень важна помощь и поддержка родителя или вовлеченного взрослого, который не осуждает их за неудачу, а наоборот — поощряет интерес к предмету и упорство в достижении цели, помогает разобраться, глубже погрузиться в предмет. Важно донести до ребёнка, что занятия — это площадка для тренировки, здесь ошибаться можно, а иногда даже нужно, чтобы лучше запомнить, какие действия приводят к неверному результату.

Что касается взрослых, тут важна осознанность, необходимо изучить свою мотивацию. Важно ответить себе на вопрос: какие свои проблемы я решу и каких целей добьюсь, если мои знания математики улучшатся?

Для одних людей это весьма конкретные цели: например, желание получить более интересную и высокооплачиваемую профессию, в которой требуются математические знания, записаться на курс бухгалтерского учёта или продвинутого программирования (Big Data, генетическое программирование). Для других менее практичные, но важные личностно — расширить кругозор, потренировать ум, создавая новые нейронные связи.

Даже принцип «доказать математичке Мариванне, что это не я тупой, а она преподавать не умеет» — тоже работает. Пусть условная Мариванна исчезла из вашей повседневной жизни лет двадцать назад, в вашем подсознании эта критиканша может поселиться на долгие годы, подтачивая вашу веру в себя. И доказать её неправоту для повышения самооценки очень полезно!