Выступление Якова Абрамсона с рассказом о практике применения разработанной им методики

Концепция авторской программы по математике для высокомотивированных школьников

Несколько слов о концепции преподавания математики по методике Я.И. Абрамсона

Стремительное развитие математики и физики всё более увеличивает сумму знаний, необходимых выпускникам физико-математических факультетов университетов для выведения их на передний край современного состояния этих наук. В то же время математика — это по-прежнему область знаний, в которой важнейшие результаты делаются в подавляющем большинстве случаев молодыми людьми.

Учебники, программы по математике как в ВУЗах, так и в старших классах физико-математических школ и без того уже перегружены, по крайней мере, в том виде, в котором они сегодня существует. Резерв имеется лишь в первых шести классах, когда дети, например, изучают общеобразовательные программы по математике.

С другой стороны, за время пребывания в начальной школе у большинства детей отбивается напрочь интерес к математике, формируется стереотип о ней как о науке застывшей и мёртвой, наподобие латыни, состоящей из мнемонических правил, которые надо вызубривать. Разумеется, для прошедших сквозь это горнило и «уцелевших» благодаря семьям, поддерживающим этот интерес домашними занятиями, кружками, к 7–8 классам предоставляют свои услуги специализированные физико-математические школы, существующие, как правило, в крупных городах.

Автор не ставит перед собой задачу глобального изменения качества преподавания математики в массовой школе — для этого нет предпосылок, да и, пожалуй, в этом нет необходимости. Для поддержания конкурентоспособности страны в области высоких технологий необходимо относительно небольшое количество высоких профессионалов, имеющих фундаментальную математическую подготовку.

Продолжая цикл видеобесед с учеными, деятелями культуры, общественными деятелями, ставшими национальным достоянием, мы поговорили с Яковом Иосифовичем Абрамсоном, учителем математики в школах «Интеллектуал» и «Алеф». Беседа проходила в Филипповской школе в рамках Маркеловских лекций и была посвящена авторской программе по математике и методике её преподавания в начальной школе и других задачах.

Я.И.: Добрый вечер! Здесь мне многие знакомы, мне легче выступать для родителей своих учеников первых классов. Сегодня я планирую рассказать о двух вещах. Первое – это та программа начальной школы, которую здесь я впервые в полном объеме реализую. До этого я реализовал ее в частной школе, но не в полном объеме. Я объясню, почему и как возникла эта идея. Как я начал в начальной школе преподавать, как я пытаюсь это делать. И так, как это уже реализовано с 6 по 11 классы, где в прошлом году у меня состоялся выпуск, правда, всего трех человек, выдержавших все. Об очевидных недостатках и издержках процесса я буду говорить позже.

Как-то в разговоре с Евгением Владимировичем (Маркеловым) я сказал, что у меня есть программа, рассчитанная на 6–11 классы, и что за это время можно добиться таких вещей, которые выглядят неправдоподобными. Когда зам. директора школы «Интеллектуал» Евгений Николаевич попросил меня дать сводку по результатам моей работы за 6 лет, я стал скачивать все в один файл (экзамены). Скачав, я посмотрел и не поверил сам. Я увидел весь этот огромный материал, собранный в одном месте и превышающий во многом первые два курса мехмата по многим направлениям. Но ведь можно было бы сделать еще больше, начав не с 6-го, а с 1-го класса. Сначала у нас с Евгением Владимировичем шел разговор, скорее, в полемическом ключе, т.к. очень много было противников этой идеи. Но он загорелся и успел открыть начальную школу. Очень хотелось бы показать ему, какая получилась школа.

История и предыстория. В 1966–1971 гг. я учился в школе Л2Ш. В Л2Ш было 16 часов математики в неделю и еще надо было 2–3 часа ежедневно делать домашние задания, при этом мы фактически в очень небольшой степени, характерной для математических школ, превышали школьную программу. Т.о., на 90% — это была школьная программа.

А зачем так много часов, зачем такая интенсивность? Что же этим достигалось? А достигалась высокая степень автоматизма при решении сложных конкурсных задач. Была математика, которую стали называть конкурсной. Это сложные зубодробительные задачи, собранные за 20–30 лет, которые даются только для поступления, а скорее, для не поступления. Это хитрые, фактически олимпиадные задачи. У некоторых моих одноклассников это отбило охоту заниматься математикой, многие занялись чем-то другим.

Мне, поскольку я никуда не мог поступить, т.к. ничего больше не знал, пришлось пойти на мехмат МГУ. Но было сформировано представление, что математика — это решение сложных олимпиадных задач.

А потом оказалось, что у нее совершенно другое лицо. И у меня возникла мысль не морочить голову детям, а сделать для них выбор будущей профессии сознательным. Например, школьная геометрия фактически больше нигде не используется, совершенно другие идеи, другая идеология, все другое. Почему нельзя все это сделать еще в школе? Да, психологи считают, что до определенного возраста человек не готов. В физике тоже когда-то считалось, что Земля стоит на трех китах, и все были в этом абсолютно уверены. Но оказалось, что это не так. А в психологии тем более. В РГГУ, в институте психологии, например, берутся 20 студентов, с которыми проводится эксперимент, затем делается вывод и все. Выборка совершенно недостоверная, маленькая и не представительная. Потому что иначе дорого проводить исследования. Но мне кажется, стоило бы проверить.

Я проверял с 1991 по 1998 годы в частной школе «Алеф». Там мне предоставили возможность сделать все, что я хочу, но в ограниченном объеме. Во-первых, два раза в неделю и, во-вторых, там не было возможности отбирать детей. А я вовсе не утверждаю, что то, что предлагается, может быть растиражировано на 100% детского коллектива. В нашей стране, да и в мире такого нет. Это 10–20%, может быть, 25%, но не больше. Это не для всех, и не всем показано. В школе «Интеллектуал» имеется такая роскошь, как возможность отбирать, и мы отбираем детей, и к нам большой конкурс. Поэтому это тоже не совсем представительская выборка, т.е. это не случайные дети. Это дети высокой нормы. Это очень любознательные, обучаемые дети, из семей, в которых уделялось много внимания образованию. Т.е. благополучные дети, с которыми легко, которые хотят учиться, учиться всему, в т.ч. и математике.

Что характерно для действующей сейчас программы и какие в ней я вижу недостатки? Во-первых, есть несколько разрывов. Разрыв между начальной и средней школой. В начальной школе формируется представление о математике как о счете. Выходит после 4-го класса ученик. Его ожидания — это дальнейшее совершенствование в счете. Сложение, вычитание, умножение, деление. Кто лучше считает, тот и лучший в математике. Только непонятно, зачем это нужно в век компьютеров. В средней школе меняется представление, появляются буквы и много формул. И дальше уже формируется новое представление. Значит математик — это тот, кто знает больше формул. Получается разрыв уже с высшей школой. Правда есть один предмет — геометрия, где нужно очевидное доказывать. Но почему, зачем?

Ведь только в геометрии это нужно. В школьной алгебре и «началах анализа» этого почему-то не делается. Не доказывается строго основная теорема арифметики, например теорема о промежуточном значении непрерывной функции, да и вообще с иррациональными числами не вполне ясно – что они такое собой представляют и почему мы с ними так фамильярно обращаемся.

В «Интеллектуале» изначально осуществляется отбор в 5–10 классы. Но этого я сейчас касаться не буду, потому что это отдельная история. А вот по поводу отбора в первый класс и открытия начальной школы было очень много возражений. Понятно, что отсутствуют тесты, т.к. дети, идущие в 1-й класс, не обязаны ничего знать. Ребенок идет в школу, чтобы его там всему обучили. Многие считали, что не надо открывать начальную школу, т.к. ничего в этом возрасте определить нельзя. Лучше всего, конечно, брать в 8-й класс, например, победителей олимпиад. Т.к. там всем понятно, что это человек с уже определившимися интересами. А первокласснику интересен весь мир. Но есть все равно некоторые вещи, которые можно увидеть и здесь. Я наблюдаю. Мне не важно, решит он задачу или не решит в данной ситуации. А мне важно, сколько времени ребенок способен ее решать. Потому что очень многие дети попробовали, не получилось, бросили. Интерес пропал. А у некоторых нет. Ему хочется попробовать и так и сяк. Вот это как раз наш ребенок. Вот этот нам нужен. Получилось – не получилось – не так уж важно. Важно, что у него есть способность фокусироваться на какой-то задаче. Далее, многие привыкли оценивать человека по тому, что он говорит и как он говорит. Я считаю, что важнее посмотреть, как человек слушает. Умеющих говорить существенно больше, чем умеющих слушать! Я наблюдаю, как слушают. Как слушают друг друга, как слушают учителя. Умение слушать встречается значительно реже, чем умение говорить. Кто-то отвлекся, а кто-то слушает, открыв рот, глаза, уши. Тоже записываю. Это можно увидеть. Но есть и формальные вещи, когда дают задачу на смекалку. Решил – не решил. Т.е. на самом деле в 1-й класс вполне можно отобрать.

Дети приходят очень разные. Более разные, чем взрослые. Потому что обычная школа нивелирует, т.е. усредняет. Школа подтягивает слабых учеников и обделяет вниманием сильных. Сильным скучно, нечего делать. Они могут даже создавать проблему для учителя. Трудно ведь ученику сидеть спокойно в 7–8 лет и ничего не делать. Это мы, взрослые, научились ничего не делать. Можем сидеть на работе и ничего не делать, и нам хорошо! А вот в 7–8–9 лет это не комфортно. Если ничего не делать, то надо прыгать, отвлекаться, но просто ничего не делать очень трудно. Вот если что-то делать, тогда еще можно сидеть. Сидеть вообще очень трудно, но еще и не делать ничего – это просто пытка. А учитель в это время занят. Если у него тем более 30 человек в классе. Занят, ему мешают, если его внимание отвлекают. Так что потихонечку все более или менее выравниваются.

Детей можно считать одаренными, если они любознательные. Не у всех 100% детей существует такая черта, как любознательность, но у тех, у кого она есть, — всех можно научить. Много ли таких детей? Например, в частной школе «Алеф», где я работал последние годы, конкурса не было, брали всех. Но в каждый класс все равно попадали 1–2 ребенка, которых можно было учить гораздо быстрее и глубже. Трудно, конечно, учить в одном классе, где есть разные ученики. Но что делать? Все равно получалось. Проблема с учителями. Гораздо меньше учителей, которые могут по этой программе учить, чем детей, которые могут по ней учиться. Если я говорю, что таких детей от 10 до 30%, то учителей, боюсь, что не больше 5%. А идея сама очень заманчива – взять в 1-м классе и выпустить в 11-м. Но я, к сожалению, слишком поздно получил такую возможность, поэтому не знаю, удастся ли её реализовать.

Хотелось бы иметь молодых последователей, которым это было бы интересно и которым хватило бы на это времени в жизни.

Методика преподавания математики

Цели и задачи программы преподавания математики

У нас в 1-м классе в настоящий момент 16 учеников, из которых 7 девочек и 9 мальчиков. В основном они все старше 7 лет, но моложе 8. Четыре раза в неделю с ними занимаюсь я. Один раз в неделю у них проходит занятие по олимпиадной математике. И еще у них есть обычная государственная математика. Также у них много развивающих кружков, например, биология, естествознание, музыка с ее половинками, четвертинками, долями и т.д. Происходит комплексное воздействие на учеников. Чем бы ребенок ни занимался — всё его развивает.

У нас модульная система обучения. Что удалось сделать за 5 прошедших модулей? Запись чисел в различных системах счисления, перезапись чисел из одной системы счисления в другую, сложение-вычитание в разных системах счисления, умножение многозначных чисел почти в столбик, деление почти уголком, т.е. почти все действия арифметики мы прошли. Все алгоритмы они выводили сами.

Я не давал никаких алгоритмов, сами постепенно к ним пришли. Почти дошли до умножения в столбик. Строим «гараж», чтобы в уме ничего не держать, не запоминать. Мы не любим ничего запоминать, зубрить. Все пишем. Деление уголком многозначных чисел на однозначные прошли, степени, обратные операции, т.е. извлечение корней и взятие логарифмов. Планиметрию немножечко взяли, понятие доказательства. В частности, что такое доказательство от противного. Доказали несколько теорем для тренировки, например признаки равенства треугольников. Научились считать площади многоугольников, нарисованных на клетчатой доске.

Но главное достижение, я считаю, это эмоциональная увлеченность детей, они просят сами домашнее задание. У меня в старших классах домашние задания не просят. А эти просят еще пока, но может скоро перестанут просить (смех в зале).

Планы

Мы в первом модуле 2-го класса построим целые числа, т.е. у нас появятся отрицательные числа, соответственно, функции и графики. Но графики у нас будут состоять из отдельных точек, т.к. у нас нет ни дробей, ни вещественных чисел, поэтому это будут не линии, а отдельные точки. Но все равно это графики, графики на множестве целых чисел. Графики прямых линий, абсолютной величины, квадратичной функции. Потом будут преобразования графиков, сдвиг графиков вверх, вниз, влево вправо, переворачивание. Сложение, умножение функций, многочлены, сложение, умножение многочленов, формулы сокращенного умножения, их применение для быстрого счета. Техника быстрого счета. Во 2-м классе научимся быстро считать. Появятся двоично-рациональные числа – половинки, четвертинки, восьмушки и т.д. Продолжим планиметрию, там будут вписанные, описанные окружности. Различные равенства треугольников по трем элементам – по трем медианам, по трем биссектрисам и т.д. Дальше будет язык математической логики, теория множеств. В 3-м классе — делимость, признаки делимости, линейные Диофантовы уравнения, построения рациональных чисел, система уравнений с двумя неизвестными, текстовые задачи на составление уравнений, соответственно, раз появились дроби – гомотетия, подобие. В 4-м классе – элементы комбинаторики, метод математической индукции, векторы на плоскости, матрицы 2´2, линейные преобразования плоскости, детерминант и его геометрический смысл. Это то, что нам предстоит пройти за 4 года, т.е. программа начальной школы.

Особенности методики

(Написано на стенде) III тип; быстрая смена задач, низкая повторяемость; отработка за счет «наложения» (сложение-умножение, вычитание-деление, системы-задачи); постоянный интеллектуальный стресс, работа на границе ЗБР; эмоциональное подкрепление (успех на внешних мероприятиях, статус в группе, конкурентная среда + взаимодействие; непрерывность занятий математикой (д/з на выходные, каникулы); развитие навыков самостоятельной работы; ничего не объяснять, не рассказывать решений; эффект незавершённого действия Б.В. Зейгарник.

Есть так называемые 3 типа обучения: I тип – проб и ошибок. II тип – работа по готовому алгоритму. III – построение алгоритма.

Я даю задачу, например, найдите закономерность. Например, выпишите квадраты 1, 4, 9, 16, 25 и попробуйте найти закономерность того, как эти числа растут. Задача открытого типа. Находят закономерность, не находят, постепенно все это делается. II-ой тип – работа по готовому алгоритму. Все алгоритмы, которые у нас были до сих пор, мы их все-таки вывели. И сложение-вычитание в столбик, умножение в столбик и деление уголком. И задачи по геометрии были. Правда, у нас всего две аксиомы. У нас не по Д. Гильберту.

По Д. Гильберту будет в 7-м классе. Построили все, что нам нужно и строим дальше. Но все равно мы доказываем, мы по III типу доказываем, а потом пользуемся уже готовыми (нами же построенными) алгоритмами при решении задач.

За счет чего можно удерживать эмоциональную напряженность? За счет чего их можно заставлять все время бежать? Все время тянуться за знаниями, как за морковкой? Что нужно делать, чтобы все время держать их на дистанции? Все искусство состоит, собственно, в этом. Держать не слишком далеко, иначе их можно потерять, но и не слишком близко, иначе ослабнет темп. Найти ту границу, границу зоны ближайшего развития, границу их возможностей. Работая на пределе своих возможностей, они попадают в ситуацию эмоционального стресса. Именно в этой ситуации происходит резкий рост. Резкий рост интеллектуального развития. Можете просто обратиться к своему опыту. То, что мы хорошо помним, было связано с какими-то эмоциональными стрессами. Положительными, отрицательными, неважно какими. Это хорошо запоминается. Но можно создавать искусственно и поддерживать это поле все время.

За счет чего это достигается?

Во-первых, быстрая смена задач, низкая повторяемость. Т.е. дети утомляются, если они совершают монотонные, однотипные действия. Человек устает от однообразия, от однотипных задач. Если ему все время ставят задачи, где он попадает в тупик, где надо находить какое-то решение, где все время есть элемент поиска, все время что-то новое, то время летит незаметно, и как бы ощущения субъективной усталости не наступает.
Во-вторых, отработка за счет наложения. Стандартно учителя достигают полной отработки какого-то одного материала. Т.е. тему не заканчивают до тех пор, пока, соответственно, не переходят к следующей, пока все ученики не освоили ее на 100%. Я делаю по-другому. Еще недостаточно отработали сложение, например сложение столбиком. Недостаточно, ошибки еще делают, а я уже перехожу к умножению. Потому что при умножении приходится многократно все равно складывать. Они дорабатывают это сложение, но уже занимаясь другим. Происходит наложение, нахлест. Пока мы следующее будем осваивать, доосвоим предыдущее. Т.е. мы не дожидаемся, пока все 100% будут складывать безошибочно, 30–40% освоили, мы переходим дальше к умножению. А умножая, они доделывают сложение, т.к. многократно им приходится складывать. Также не дожидаюсь я, пока вычитание будет на 100% освоено. 60–70% научились — всё, переходим к делению. А выполняя операцию деления, им приходится многократно выполнять операцию вычитания. Но зато это не создает монотонности и утомляемости, т.к. они, помимо вычитания, делают что-то новое. Так же можно добиться навыка решения системы линейных уравнений. Можно заниматься, тренироваться и снова повторять. Пока все прекрасно не начали решать системы линейных уравнений, потом перейти к текстовым задачам, которые приводят к составлению этих уравнений. Потом их решать. А можно добиться какого-то уровня решения линейных уравнений, потом перейти к текстовым задачам, которые приведут к системам уравнений. И тогда уже опять их решать. По принципу запоминания песенки «Дом, который построил Джек». Вот это я и называю нахлестом, это наложение позволяет еще выигрывать время. Это система максимально быстрого продвижения. За счет таких резервов можно ускорить темп, при этом на самом деле не снижая качества.
В-третьих, человек устроен так, что он любит успех. И здесь дети, которые опережают свое развитие, своих сверстников, обречены на успех на внешних мероприятиях, на олимпиадах и т.д. Им это нравится, они же любят грамоты, подарки. Домой пришел, а там похвалили. Это естественная вещь. А это эмоциональное подкрепление. Это работает и на учителя. Этим предметом хочется заниматься. Потому что все любят получать пряники.
В-четвертых, непрерывность. Я даю домашние задания на все выходные, на каникулы, на лето. Вода, как известно, камень точит. Постоянная интеллектуальная работа приводит к появлению потребности в такой работе, повышает интеллектуальную выносливость и, в конечном счёте, изменяет саму личность обучаемого. Разница не заметна на протяжении 2–3 месяцев, но на протяжении года она уже очень заметна. Эта постоянная умственная загруженность приносит свои плоды.
В-пятых, за счет непрерывности развиваются навыки самостоятельной работы с текстом. Потому что приходится работать с теми конспектами, которые я даю. Но это уже позднее, это мостик уже в старшую школу, начиная с 6-го класса.
В-шестых, полезно ... ничего не объяснять! Я никогда не рассказываю, как решаются задачи, у доски – никогда. Мне кажется, что чем меньше учитель говорит, тем лучше! Чем меньше он рассказывает на уроке, тем лучше. Не надо ничего рассказывать! Подсказать можно, но подсказки тоже бывают разные.

У меня, например, ребята долго не могли решить довольно сложную задачу по геометрии. Вижу, что никак. Подхожу к доске и рисую окружность. И все. Т.е. не хватало какого-то толчка небольшого. По минимуму надо помогать. Есть у меня подсказки и такого вида:

«Это просто». Это тоже подсказка. Это означает, что ищи решение на поверхности, не уходи вглубь. Это значит, что надо отбросить сложные комбинации, надо посмотреть на задачу сверху, значит решение где-то на поверхности. Т.е. подсказки должны быть минимальными. Но подсказки должны быть. Т.е. когда я даю задачу, я предусматриваю, что ее не решат. И даже не одну, а 2–3 подсказки, может быть, придется дать.

А какие именно, я пытаюсь предугадать и пишу заранее. Если не решат, я дам вот это, а если это не поможет, я дам вот это. Эффект Зейгарник — это эффект незаконченного действия. Не смогли, допустим, они решить задачу и просят: ну так скажите же, как она решается! А я говорю: подумаете и решите. Она им не дает покоя, она их мучает. Урок закончился, они так и не знают решения, они не могут ее просто забыть. Как же она решается? Она — как заноза. Вот и хорошо. Пускай сидит как заноза. И если я вижу, что они достаточно помучались, я даю подсказку. Когда человек долго думал над задачей, ему совсем немного надо, чтобы все у него в голове встало на место. Но эти усилия даром не проходят. Подсказать человеку, который думал над задачей, гораздо полезней, чем человеку, который над ней не думал. Никогда не подсказывайте тому, кто еще не подумал. Пусть сначала помучаются!

Недостатки программы

Нынешняя школьная программа консервативна. Самая консервативная программа – это не институтская, а школьная. Она меняется очень медленно. Учебники построены в исторической последовательности, т.к. в исторической последовательности сначала были дроби, т.к. надо было что-то мерить. Я застал людей, которые учились в наших гимназиях до или вскоре после революции, так в то время отрицательные числа назывались относительными. К ним и отношение было соответствующим. А название «мнимые» числа само за себя говорит. На самом деле, с логической, психологической, педагогической и т.д. точек зрения отрицательные числа надо вводить раньше, чем дроби. Отрицательные числа – это очень простая вещь. Там всего лишь минус на минус равно плюс. Ничего запоминать не надо, потому что это очень естественная вещь. Объясняется с разных сторон, вполне доступно детям даже в 1-м классе. Хотя у меня с этого начинается 2-й класс. А дроби – это действительно сложное понятие. Здесь нужна математическая культура, прежде чем к ним перейти. Поэтому я стараюсь наработать эту математическую культуру как следует. Развить навыки абстрактного мышления, работу с буквами, с многочленами, с функциями и.т.д., прежде чем переходить к дробям.

Сейчас все совершенно разорвано в школьной программе. Так, например, появляется в 6-м классе площадь круга. В площадь круга входит число Пи. Откуда взялось число Пи – непонятно, потому что ничего кроме дробей до тех пор не было. Оно дробью не является. Чем оно является? Бесконечной десятичной дробью. А что это такое? Принято считать, что никто не спросит. Потому что достаточно было бы спросить – и все, конец. Ведь десятичная дробь – это сокращённая запись операции сложения. Что такое сложить бесконечное количество чисел? Сложить бесконечное количество объектов чисел – это не то же самое, что сложить 20 или 30 чисел. Это понятие, которое надо как-то определять. Не понятно только, зачем это в 6-м классе делать. Это можно сделать, но не обязательно в 6-м классе. Кстати, мои шестиклассники не знают формулы площади круга и длины окружности. В этом они отстают от всех остальных. Они узнают, правда, это в 7-м классе, когда построят вещественные числа с помощью Дедекиндовых сечений, и тогда в свои права вступит число Пи. Правда, все равно площадь круга и длина окружности не совсем еще легализованы, потому что не очень понятно, почему они, собственно говоря, есть.

Или возьмём геометрию, она действительно учит изобретательности. Но не нужно думать, что современные разделы математики, такие как топология, линейная алгебра или коммутативная алгебра, этому не учат. И они, скорее всего, больше понадобятся тому, кто дальше математику изучать будет. Уж комплексные числа – это точно. В мое время были комплексные числа в программе, зато не было «начал анализа». Зачем нужны начала анализа? Потому что высшая школа начинает всегда с «забудьте то, чему учили вас в школе», потому что все делается заново. Уже не начала анализа, а анализ по-настоящему.

Недостатки моей программы

Во-первых, это «закрытость» группы. Сейчас у меня шесть семиклассников. И помимо них есть очень способные, талантливые ребята, но я их уже не могу принять в свою группу, т.к. они догнать остальных уже не могут. Они не могут проделать тот гигантский объем работы, тем более самостоятельно, чтобы преодолеть ту пропасть, которая их отделяет от моих учеников. Мои ученики, решив примерно 1100 задач, прошли много материала вне школьной программы – комбинаторику, теорию вероятности, элементы дискретной элементарной теории вероятности, группы, кольца, векторные пространства. А новый ученик сам это не одолеет. Поэтому он не может уже попасть. Группа только тает, т.е. на выход она открыта, а на вход она закрыта. И вот поэтому я выпустил в прошлом году только трёх человек. Три человека закончили у меня 11 класс. А в 6-м их было 18. Т.е. начинало 18, а закончило только трое. Да, они много чего знают, но их всего трое. Правда, нельзя сказать, что пострадали остальные, которые проучились 2–3 года. У них проблем с математикой дальше не было уже. Но, тем не менее, очень низкий КПД, мало людей могут все это пройти. Потери происходят при любом переходе.

Т.е. если человек выходит из этой группы, попадает в другую, параллельную группу внутри школы, где я работаю. Или, например, переходит уже в другую школу, тогда наступает полный обвал. Т.е. были у него задачи, которые требовали напряжения, а теперь нужно, образно говоря, 2´2 делать все время. А это не менее страшно, чем тянуться вверх. Падать вниз может быть еще больнее, чем вверх тянуться. Такой ученик начинает мешать учителю на уроках, потому что ему нечего делать, у него возникают дисциплинарные проблемы, вызывают родителей, потому что это реальная проблема, когда скучно на уроке. Очень плохая вещь, когда в подростковом возрасте нечем заняться. Т.е. подросток найдет, чем заниматься. И может быть это будет совсем не то, чем бы хотелось.

Вопросы и ответы по методике Абрамсона

— По проблеме Вашей школы. По проблеме Вашей программы. Нельзя ли детей, которые не с 1-го класса у Вас занимаются, но которые хотят и могут учиться, адаптировать летом по принципу экстерната?

— Я.И.: Этим заниматься некому. Надо понимать, что в определенном возрасте, например, 6–7 класс – это еще маленькие дети. В программу обучения, которую я реализую, входит постепенное приучение к самостоятельной работе со специальным математическим текстом. Это постепенно нарабатывается. И через пару лет их действительно можно оставить со сложным текстом, они его сами разберут, но это через пару-тройку лет. Как ребенку из обычной школы предложить разобрать 20 математических текстов самостоятельно? Это ничего кромке комплекса неполноценности не породит. Это невозможно. Кто-то, какой-то репетитор должен быть рядом.

— Вы ведь детям все равно ничего не рассказываете? (Смех в зале.)

— Я.И.: Да, не рассказываю. Но всё же, это не обучение один на один. Их 16 человек. Они генерируют идеи, они друг у друга учатся больше, чем у меня. Я использую то, что их 16. Я даю какую-то задачу, и кто-то из этих 16 найдет, я знаю, что кто-то обязательно найдет решение. И другим расскажет, что немаловажно.

— Ясно. Это означает, что их должно быть 16. Но если предположить, что Вас вообще нет?

— Я.И.: Я стараюсь быть не очень заметным. Им должно казаться, что они все сами открыли, а не что им рассказали. Субъективное ощущение, что они все делают сами. Что они открывают этот мир сами. Эврика должна быть, ощущение, что они сами сумели. Я не должен быть особо на виду, на сцене, за кулисами, так сказать, работать. Но то, что их 16 – это очень важно.

— Важно для кого? Ведь во время домашнего задания их не становится 16. И в результате при выполнении домашнего задания оказывается, что человек не знает, чем отличается возведение в степень от умножения на 2 или 3.

— Я.И.: Задача ученика дома – это постараться сделать. И прийти в класс. И задать вопрос. Вот у меня не получилось, я пытался, не получилось, где-то я не понял или не поняла. Мне казалось, возвести в степень – это сложить. 2 в 5 – это 2 + 5. Так ли это? Ну, давайте проверим, так ли это. Или, а почему, допустим, ассоциативность или коммутативность не работают для вычитания и деления? А может, и работают.
Ну, давайте проверим. Проверили – не работает. Класс для того, чтобы осознать то, над чем работали дома, обработать д/з, обсудить его. Как на семинаре. А кто-то сделал. И торжественно приходит, идет с чувством гордости к доске и рассказывает всем, что получилось.

— А если у ребенка дома что-то не получается, родителям надо помогать?

— Я.И.: С одной стороны, это не плохо. Неплохо не в математическом смысле, неплохо, что есть повод пообщаться. А с другой стороны, есть, конечно, опасность.… Вот поэтому я вам и посылал по геометрии такие рассказики. Я еще пошлю вам рассказ, что такое площадь. А сейчас скажу кратко, ведь вы можете не знать, что это такое. Это такая простая вещь. Некая функция, которая единичному квадрату приписывает значение, равное 1; если фигуру разрезали на 2 части, то ее площадь будет равна сумме площадей составных частей; у равных фигур равные площади. Вот что такое площадь. Если эта функция удовлетворяет этим трем вышеназванным свойствам, то мы ее называем площадью.

— Ни для кого не секрет, что одаренные дети, как показывает жизненный опыт, мало чего добиваются. На определенном этапе они просто теряются. Троечники, как правило, добиваются жизненного успеха. Мне кажется, что нужно изменить структуру задач, особенно в начальных классах. Добавить задачи логические, которые требуют выбора правильного оптимального решения. Будут ли даваться такие задачи?

— Я.И.: Мне кажется, что вопрос, который вы затронули, вообще связан не с математическими задачами.
А успех, он в большей мере связан с развитием компетенции в сфере человеческого общения. Вот это более важная компетенция для достижения успеха, чем любая специальная. Знание химии, физики, математики, биологии, чего бы то ни было. Достигают успеха в жизни люди, которые достигают успеха в сфере человеческого общения. Это просто более важная вещь.

— Но это, может быть, было раньше. Но сейчас в современном мире все-таки другие понятия!

— Я.И.: В современном мире все так же.

— Тот, кто обладает результатом, должен достигать успеха.

— Я.И.: Он должен еще в этом убедить других, он должен уметь себя продать.

— Можно зайти в интернет и там продать. Но надо обладать такими знаниями, которые имеют цену в жизни.

— Я.И.: Самое важное знание – это знание, как произвести впечатление. На того, кто принимает решение.

— Но все-таки по логическим задачам. Будет ли присутствовать такой блок?

— Я.И.: Конечно будет. В 5-м модуле следующего года будет в чистом виде математическая логика.

— Задачи, которые Вы давали на лето, очень хорошие!

— Я.И.: А такие вы получите и на это лето. А на лето так и должно быть. В принципе, лето – это время для удовольствий. А удовольствие должно быть не только детям, но и взрослым, которые решают эти задачи. Чему учить? Ведь можно учить частным методам решения. Например, натаскать на ЕГЭ, на олимпиадные задачи, задачи повышенной трудности, конкурсную математику. Можно учить общим понятиям и представлениям. О связях между различными задачами, повышать уровень абстракции. Учить вширь или вглубь? Современное преподавание считается традиционным, хотя этой традиции не так уж много лет по историческим меркам. Не нужно думать, что школа не менялась, школа очень сильно менялась, если взять 100–150 лет. Но за последние 30–40 лет сложился стереотип, что есть некая программа, которая считается буквально «священным писанием». И на нее накручиваются «бантики» в математических школах в виде олимпиадных задач, т.е. берутся более глубоко какие-то темы и накручиваются задачки с параметрами и еще с чем-то, что сложно решить. И существуют специальные приемы, которые позволяют их решить. Но есть вузовская программа, т.е. кесарю кесарево, а вузовское не трогать. Это разделено. Еще в большей степени это удивительным образом присутствует в американской школьной системе. Там просто убеждены, что во всем мире существуют такие всем понятные вещи как, алгебра 1, алгебра 2 и т.д. У них есть толстые книжки. И они думают, что весь мир по ним учится, как и они. И не надо ничего добавлять к тому, что это алгебра 1. Все проходится в определенном порядке. Сначала алгебра 1, потом алгебра 2, потом тригонометрия и т.д. А в другом порядке нельзя. Все строго научно и педагогично. И так было испокон веку, так было 1000 лет назад и будет через 1000 лет. Так что сложилось такое представление, а кто на это покушается, тот смутьян. Там номера имеются у всех курсов, если я не ошибаюсь, пятизначные. И под этими номерами предполагается какое-то совершенно фиксированное содержание. Каждый курс имеет строго определенное количество известных утверждений. И наши университетские курсы просто не совпадают с их курсами. У нас сейчас очень многое копируется оттуда. Например, ЕГЭ скопировали и т.д. Считается, чем больше регламентировано все, тем лучше. Нужно все до последней запятой регламентировать и не давать учителю свободы. Потому что, если ему ее дать, он такое там наплетет... Понятно почему. Потому что тот американский учитель, с которым я общался, действительно наплетет!

Что необходимо включить в школьную программу и почему (со слайда)? Группы, кольца, поля, векторные пространства; топология; проективная геометрия. А вот что еще можно преподавать (со слайда)? Анализ функций нескольких вещественных переменных. Это было. Уравнения с частными производными. Не было. Не преподавал. Комплексный анализ. Частично было. Квадратичные формы. В очень небольшой степени было. Представления конечных групп. Были. Теория меры и интеграл Лебега. Было. Теория вероятности (непрерывные меры). Не было. Алгебры и группы Ли. Не было. Теория Галуа. Не успел дать. Не получилось. Но надеюсь, что с нынешним 1-м классом сможем.

— Вы не рассказали про программу в старшей школе?

— Я.И.: Я учеников брал в 6-м классе. Мы ускоренным темпом идем по школьной программе с тем, чтобы можно спокойно заниматься не школьной программой. За 6-ой класс проходим 6–7-й. Чтобы потом никто не сказал, что мы не даем базу. Всю базу мы даем в 6-ом классе и забываем о ней. Хотя не только это даем. В 6-м классе мы добавочно строим графики и преобразовываем их, это понадобится в дальнейшем. Язык теории множеств и логики изучаем сразу же, чтобы не возиться потом. И все. А с 7-го класса начинается у нас модульная система. Шесть модулей всего. Три модуля осенью, три модуля весной. Осенью пять недель учимся, шестую отдыхаем. Весной шесть недель учимся, седьмую отдыхаем. В 1-м модуле 7-го класса мы проходили группы; во 2-м модуле – кольца; в 3-м – векторные пространства. В том 7-м классе, я помню, было больше векторных пространств. Вещественные числа построили только в 8-м классе. Там же в 8-м классе – комплексные. С девятого класса уже была проективная геометрия, математический анализ. Два модуля была у нас топология. После этого числовые пределы. Т.е. была большая пропедевтика до производных, потому что понятие предела должно быть отработано. Чтобы производная «ложилась» на хорошо подготовленную и удобренную почву. Когда до этого было понятие близости, предельные точки, числовые ряды, вещественные, комплексные числовые ряды, признаки сходимости, после этого производная пошла мгновенно. Производная вещественной функции одного вещественного переменного, комплекснозначной функции одного вещественного переменного, интеграл Римана-Стилтьеса. На следующий год уже функции нескольких переменных. Интегрирование по Лебегу, элементы функционального анализа. Этим мы и закончили. Не успели разогнаться, а тут уже и школа закончилась. Вот с этим мы и вышли. Я одного из своих выпускников (он на ВМК учится) спросил, как дела и есть ли что-нибудь новое по сравнению с тем, что проходили в школе? Он сказал, что новое, конечно, есть, но есть и твердая уверенность, что он все может, т.е. полная уверенность в своих силах.

— Кто-нибудь из Ваших выпускников поступал в Московский Независимый Университет?

— Я.И.: Конечно. Самая большая проблема, о которой меня предупреждали коллеги, и я с этим согласен, что, поступив в институт, человек понимает: первую сессию он может сдать в сентябре, вторую – тоже и перестать заниматься. Вот самая большая опасность. Поэтому надо чем-то заняться. Я с ребятами проводил такую работу, объясняя, что иначе они быстро деградируют, попав в условия, где не нужно трудиться. И они все по-разному нашли выход из этой ситуации.

— А вот на мехмате, на механическом или на математическом тяжелее?

— Я.И.: Я думаю, что на математическом. У некоторых моих выпускников есть склонность к педагогике. Я бы очень хотел, чтобы они её, эту склонность, реализовали. Потому что лучше них никто эту систему не знает. Они знают и имеют склонность контактировать с детьми, имеют терпение. Я видел их. Когда один из моих выпускников приходит, я всегда даю ему провести урок. И он проводит урок, причем, на мой взгляд, лучше меня. У него больше терпения, он более спокойный, относится с пониманием к их проблемам и трудностям, он очень легко опускается на их уровень – и получается прекрасно. Я бы с удовольствием отдал бы их ему, он бы учил их лучше, чем я. Но понятно, что ему самому надо учиться.

— Вы говорили о КПД. Вероятно, полезной работой является «изготовление» этих трех учеников, которые пошли по математической линии, а все остальное – это отсев. Правильно ли я Вас поняла? Происходит выращивание математиков?

— Я.И.: Если с ними поговорить, то они все довольны, что побывали в моей группе.

— Что сейчас происходит в начальной школе? Это обучение 10–15% детей вообще, т.е. некая правильная схема обучения одарённых детей, которая к другим детям не подходит?

— Я.И.: Нет. Она может быть и не на 10–15%, а может быть и для 80% сгодится, но тогда ее надо ослабить. И давать не в таком объеме, как предлагается.

— Это профессиональное образование?

— Я.И.: Это образование выглядит как профессиональное. Знаете, что такое профессиональное образование? Это когда закрыты двери для всего остального. Вот школа, в которой я начал, Л2Ш, она закрывает возможности для всего остального. Если у вас 16 часов в неделю какой-то предмет, например, математика, занимает, это значит, что вы ничего другого уже знать не будете. Все дороги, все авеню для вас закрыты. Вы будете превосходно знать этот один предмет. Монокультура такая, монопредметная школа, но все остальное вы забудете. Вы же никуда не сможете поступать, т.к. вы ничего не знаете, кроме этого. Это как музыкальная школа, балетная школа, спортивная школа, английская и т.д. Они отнимают у вас возможности. Почему? За счет чего? За счет того, что очень много времени вы посвящаете одному предмету. Это экстенсивная штука. При четырех часах в неделю математики, которые у меня существуют, остается много времени для других занятий. Максимум, что я имел, это 8 часов в неделю математики в последних трех классах. 8 часов. Я просто знаю, что и сегодня в математических школах, например С.-Петербурга (я о них знаю больше, чем о московских) 13–14 часов в неделю математики.
В 57-й – 10 часов математики. Это если все считать – алгебру, геометрию, спецкурс, все-все-все. Сложить все. 10-12 часов. Восьми часов ни у кого нет. Плюс большие д/з. Т.е. отрезаются все пути.

— У Вас 8 часов государственной программы?

— Я.И.: Нет, всего 8.

— А если сложить все в 1-м классе, то получится больше часов?

— Я.И.: Да, получится много. Семь часов. Но поймите, я не очень упираюсь. Формально. Это, конечно, помогает. Особенно вот этот один час, который Алексей Иванович ведет, – олимпиадная математика, это развивает сильно. Но, может быть, это и недостаток. Но я думаю, что это изменится, во всяком случае, я надеюсь. У меня был такой проект. По 4 часа с 1-го по 4-й класс, в 5-м–5, в 6-м–6, в 7-м–7, в 8-м –8, и далее по 8 часов в неделю. Но уже приблизительно в 6-м классе произойдет разделение. В «Интеллектуал», где я работаю, это принято называть углублением. Ребенок выбирает себе набор углублений. Например, хочу заниматься тремя иностранными языками, химию углубленно изучать, а можно и в базовой группе ею заниматься. Можно географию в углубленной группе изучать, а можно в базовой. И т.д. Но то, что я говорю – это для углубленной группы. А параллельно есть базовая. Не нужна тебе такая нагрузка – пожалуйста. Никто не заставляет.

— Т.е. получилось, что у Вас на выходе три человека из углубленной группы вышли? Это получается выборка в выборке в выборке.

— Я.И.: Да, а параллельно они учились в этой же школе, в соседних группах. Да. Но в «Интеллектуал» не выбирают только по математическим способностям. Это же не физматшкола.

— Т.е. они не сдают никаких входных экзаменов?

— Я.И.: Нет. Не сдают. Это не физматшкола. Отбирают не только по математическим признакам.

— Я понимаю. Учитывается степень одаренности. Потом формируются три группы. Одна, из которых, сильная?

— Я.И.: Нет. Группы, которые формировались здесь, формировались по заявлению, т.е. кто захотел. Захотели не столько дети, сколько родители. Это было желание родителей. Там 5 человек были совершенно случайные, которые откололись сразу же. После 2–3 месяцев. Из тех 18. А дальше медленнее стали выбывать. Но пятерых просто родители запихнули, не считаясь ни с чем, и все. Они сами ушли, потому что сидели и ничего не понимали.

— Все равно это выборка в выборке. Из всей массы детей еще более мелкий %. 10 человек из 16.

— Я.И.: Но это речь идет о тех, кто закончил. У меня в 10-м классе было 7 человек. И я предполагал, что они все закончат у меня, потому что они все могли закончить. Ушли у меня 3 девочки, они с хорошими оценками ушли. У них была прекрасная успеваемость. Они были призерами 3 года подряд на московской городской олимпиаде по математике. Все было нормально. Они подошли и сказали, что у них определились интересы, они не хотят становиться математиками. Они поступили на фундаментальную медицину в МГУ, т.е. определились интересы.

— Интересует процесс преподавания в начальной школе. Вы говорите, что Вы раздаете конспект, в котором они сами разбираются.

— Я.И.: Это с 5–6-го класса начинается.

— А как в начальной школе? Там дети умеют читать?

— Я.И.: Да. Те, которые не читают, они просто не попадают в школу. Я обратил внимание, что почему-то все, кто попал по конкурсу, по отбору, они все умели читать. Я больше даже скажу – умели даже считать до 100. Но это могло быть случайным совпадение. Но оказалось – нет (Смеется.)

— Как Вы работаете с маленькими?

— Я.И.: Устно. Они не пишут ничего. У них тетрадок нет. У них фломастерные доски, на которых они фломастерами рисуют, а ответы мне показывают. Все это динамично, потому что рука еще слабенькая. Пока они там нацарапают что-то – это пол-урока пройдет. Поэтому тетради мы не ведем. Но некоторые, у кого рука уже поставлена, ведут тетради сами, по своей инициативе. Я этого не требую. Все взаимодействие устное, на досках пишут фломастерами. Написал быстро, показал, стер. А а для родителей я пишу.

— А придумывают ли ребята сами задачи?

— Я.И.: Нет. Но у меня один из этих старшеклассников взял-таки и придумал себе задачу. Причем задачу очень хорошую. Могу рассказать, просто чтобы оценили.

— Интересно!

— Я.И.: Если взять любую выпуклую фигуру, например круг, или треугольник выпуклый, многоугольник выпуклый. Взять какую-то точку снаружи на плоскости и посмотреть на кратчайшее расстояние до этой фигуры. Оно достигается в какой-то одной точке. А если взять, скажем, плоскость и вырезать из нее угол. Представьте торт, из которого вырезали угол. Не выпуклая фигура. На биссектрисе возьмем точку, и кратчайшее расстояние достигается в двух местах сразу. А может ли это быть критерием выпуклости? Обратная задача. Дана фигура, неизвестно какая. Известно, что из любой точки снаружи кратчайшее расстояние достигается в единственной точке, можно ли сделать вывод, что это фигура выпуклая? И он поставил такую задачу, и он ее решил. Получилась хорошая работа. Она заняла призовое место на конкурсе школьных работ. Он сам поставил эту задачу. Не я.

— Можно дать задание ребятам придумать задачи и рассказать, что придумали. Такой вариант возможен?

— Я.И.: Нельзя. А если не придумал?

— Придумал – молодец.

— Я.И.: А тот, кто не придумал – не молодец.

— На уровне 1-го класса. Они же могут придумать элементарные задачки?

— Я.И.: Если придумают – хорошо. Они иногда лучше это делают, чем я. Я не спорю.

— Просто сказать ребятам, кто хочет пусть тот и придумает.

— Я.И.: Да, скажу. Я даже больше скажу, что у вашего учителя не хватает проектов задач, хотя он зарплату за это получает, а вы бесплатно их придумайте. А я же вам ее и дам. (Смеется.) Я оценю, если хороший проект. Безусловно, давать проекты в таком возрасте, когда они еще ничего не знают, очень трудно, честно говоря. Вот пока у нас три проекта. В следующем году я вижу еще парочку-троечку. Например, обосновать какие-то способы быстрого счета, не традиционного умножения, например. В каких пределах это работает? Сделать какое-то исследование. Но, вообще говоря, тем не хватает. Это проблема.

— Может поставить задачу перед родителями? Пусть каждый придумает.

— Я.И.: Мне как-то неудобно свою работу на родителей перекладывать. Хотя если что, всегда спасибо.

— Скорость продвижения, о которой Вы рассказывали, сравнима с мехматовской. Хотя на мехмате учатся немного больше, чем 8 часов в неделю. Как Вы считаете, это связано с тем, что у вас выборка более аккуратная? Или с тем, что раньше учить лучше, или что у вас какая-то специальная программа?

— Я.И.: Дело в том, что на мехмате она быстрая, но она сразу быстрая. А здесь скорость развивается постепенно. Она быстрее даже, чем на мехмате, но быстрее она в 10–11-м классах. Это скорость с ускорением. В 6-м классе очень медленно все шло. Совсем не быстро. В 7-м быстрее, в 8-м еще быстрее. У них просто разгон длиннее, понимаете? У них 6 лет разгона. И на шестом году они достигают и обгоняют мехматовскую скорость на первом курсе. Т.е. они учатся по-серьезному 6 лет. Сегодняшние первоклассники будут 11 лет так учиться. Т.е. 6 лет нога находится на акселераторе. Они все время решают задачи. Они никогда не получают готового знания. Все знания ими добыты. При этом вырабатывается навык получения знаний. Вот за счет чего происходит ускорение. Они все время в более быстром режиме. Когда вы все время поднимаете штангу, она для вас начинает терять вес, потому что мышцы у вас накачались. А у них интеллектуальные мышцы накачались. Они накачиваются и накачиваются. Поэтому скорость растет незаметно. Незаметно для них, а вообще-то она очень быстро растет.

— А в чем принципиальная разница с математической школой?

— Я.И.: Во-первых, у них меньше дистанция на 2 года

— А если еще ходить в вечернюю математическую школу?

— Я.И.: Может быть. Но вечерняя математическая школа ориентирована на хитрые задачки, а не на системное изучение математики. Хитрые, интересные олимпиадные задачки не дают нового качества знаний, системных новых знаний. Они учат изощренности, изобретательности. Это, безусловно, тоже очень важно! Но там целеполагание другое. Там критерием успеха является количество олимпиадных медалей. Их так оценивают. Так оценивают учителя, школу. А я их удерживаю от излишнего увлечения олимпиадами. Я, наоборот, советую учиться спокойно, планомерно, без внешних эффектов, сходив 1-2 раза в год на олимпиаду. И все.

— Одно дело, когда сходят с дистанции после 10–11-го классов, они могут себя сами как-то организовать. А дети, которые сходят с дистанции, например, после 4-го класса, – они же попадают в другую систему? Как они там будут себя ощущать?

— Я.И.: Я разговаривала с людьми, которые уходили с мехмата, потому что там ничего не понимали. Они говорили об ощущении, когда совершенно не на что опереться. Все время наступаешь на почву, которая уходит из-под ног. Опять же, когда человек уже большой, он может куда-нибудь убежать и ощутить уверенность в себе. А вот после 4–5-го класса? Или в начальной школе. Вы хорошо чувствуете своих детей? Т.к. мне кажется, что в маленьком возрасте это было бы совсем разрушительно.

— Я разговаривала с людьми, которые уходили с мехмата, потому что там ничего не понимали. Они говорили об ощущении, когда совершенно не на что опереться. Все время наступаешь на почву, которая уходит из-под ног. Опять же, когда человек уже большой он может куда-нибудь убежать и ощутить уверенность в себе. А вот после 4-5 класса? Или в начальной школе. Вы хорошо чувствуете своих детей? Т.к. мне кажется, что в маленьком возрасте это было бы совсем разрушительно.

— Я.И.: Ну пока я не могу сказать о том, что произойдет. Я не знаю, что будет в 4-м классе. На сегодняшний день из 16 человек безнадежных, потерянных нет. Есть там, допустим один, который меня беспокоит. Это ученик далеко не самый бестолковый, напротив, один как раз из наиболее толковых учеников. Там проблема с мотивацией. Т.е. не то, что он старается, а у него не получается, нет мотивации. Но время от времени он включается. Когда он включается, все получается. Вначале у меня были очень серьезные опасения, потому что, как вы догадываетесь, не все 100% были отобраны. Не все. И в том классе, который сейчас будет, тоже будут те, которые не прошли через конкурс. А учиться они будут вместе. И здесь могут возникнуть проблемы. (Разводит руками.) Но пока что, на конец 1-го класса, они идут удивительно ровно. Как всегда, есть кто-то лучше, есть кто-то хуже, но это все очень плотная группа. Не так, чтобы кто-то вырвался далеко вперед. Один. Вокруг никого нет. И кто-то далеко сзади и уже не может догнать. Такого нет, они идут довольно плотной группой. Пока.

— Но может выпасть не худший, а тот, которого, например, родители увезут в другой город. Как он себя будет чувствовать в другой системе?

— Я.И.: Ему будет очень скучно.

— Так он в 4-м классе, в 11 лет, что он сможет сделать со скуки?

— Я.И.: Ничего. Ему будет скучно жить.

— Если по большому счету, то получается, что эта система привязывает?

— Я.И.: Да. Ее надо сделать сетью, как ИКЕА или Макдоналдс. Стандартное качество и т.д.

— Это как наркотики.

— Я.И.: Да. Это вариант наркотиков. Это я «сажаю на иглу». Потому что я приучаю к чему-то, что приятно и интересно, а человек из этого выбывает. И, не получая уже эмоциональной подпитки, он испытывает дискомфорт. Как всякий наркоман.

— Вы даете некий стандарт образования ребенку, а придя на физику, химию он будет ждать того же.

— Я.И.: Спасибо за хороший вопрос. Вот сейчас выступал Евгений Николаевич, он занимается созданием пакета, т.е. привязки новой физики к этой программе по математике. Т.е. изменяя постепенно все под это. Вот сейчас семиклассникам физику уже преподают по другой специальной программе. Т.е. физика уже начинает меняться. Уже к этому пакету подключается информатика. На базе других знаний по математике возможно решение других задач там.

— Каков способ подачи информации?

— Я.И.: Постепенно на уровне изменения содержания уже идет согласование. И в перспективе весь технический блок будет переделан. Т.е. идет подстройка всего технического блока дисциплин в этой школе. Эта школа пока единственная в этом роде. Конечно, хотелось бы видеть ее как пилотную школу, которая клонируется. Было бы очень хорошо ее клонировать. Есть такая возможность. Для этого мне бы хотелось видеть на своих уроках группу стажеров, которые учились бы, потом шли бы преподавали другим детям. Потому что на 10-миллионную Москву 16 посадочных мест – это маловато.

— Вы не записываете Ваши занятия на видео?

— Я.И.: Нет. Но я не против. Это пригодится, когда, например, кто-то заболел и дома сидит. Конечно, не возражаю.

— Как Вы считаете, чему должна научить связка школа+ВУЗ человека? И какие цели достигаются, а какие нет?

— Я.И.: Не знаю, насколько отвечу на ваш вопрос. Но Вы напомнили мне одну вещь, которую я забыл сказать. В любом случае, в силу исторической необходимости рано или поздно что-либо подобное тому, что я сейчас делаю, будет реализовано. Вот сейчас я пытаюсь это сделать, но даже если не получится у меня, все равно оно будет сделано. По очень простой причине. Идет информационный взрыв. В средние века человек считался грамотным, если он умел подписываться, умел читать. Высшей математикой считалось знание дробей. Не было понятия массовой школы, она была штучным товаром. А потом возникла потребность в массовой школе. Производство в большом количестве инженеров, специалистов и т.д. Повысился уровень технических требований, соответственно менялась и школьная программа. Но сейчас разрыв еще больше. Просто потребуется какая-то технология, которая позволит за эти 11-12 лет (в Германии, например, 13 лет) вложить большее количество знаний и умений и перейти на другой качественный уровень. Потребность в этом настоятельная. Человечество назад в пещеры не пойдет, как бы «зеленые» не призывали. Оно не пересядет с «мерседесов» на лошадь или телегу, оно будет идти только в одном направлении. А это выдвигает соответствующие требования перед школой. И эта задача так или иначе будет решена. Это попытка решения этой задачи, попытка выйти на другой уровень. Т.е. вуз должен стартовать с другого уровня. Я считаю, первые два курса мехмата – это ликбез. Он должен начинаться с того, что сейчас проходят на 3-м курсе, когда идет разделение по кафедрам. Я очень хорошо помню разговор, с великим человеком, Израилем Моисеевичем Гельфандом. У него были знаменитые семинары по понедельникам, весь математический цвет там был. И я был свидетелем его разговора со второкурсником. Студент спрашивал у И.М. совета, какую кафедру ему выбрать, потому что он отучился 2 года, но еще не определился. И он получил совет. И.М. ему сказал: «В 18 лет опыт в математике у Вас нулевой, Вы не знаете ни алгебры, ни топологии, ни геометрии и компетентно решить этот вопрос не можете, но у Вас есть 18-летний опыт общения, и Вы прекрасно можете выбрать человека. Вот и идите к тому, кто Вам больше нравится!» (Смеется.) И действительно, современный третьекурсник такую задачу решить не может. А 11-классник тем более не может сознательно выбрать профессию, специальность, вуз. Он ничего не знает. И одно из обоснований в пользу этого, что (указывает рукой на доску) я стараюсь показать математику такой, какая она есть на самом деле. Не с целью увлечь – вот посмотрите, какая красивая, какая хорошая, все идите туда, а с точки зрения – посмотрите, может это Вам и не надо. Вот, посмотрите, как она выглядит, а хотите ли Вы этим заниматься всю жизнь? Но заниматься Вы будете именно этим, а не решением красивых олимпиадных задач. Кто-то сделает сознательный выбор – нет, мне это не надо. Ну, не надо, и хорошо. Меньше будет ошибок, а хочешь дальше, пожалуйста, но стартовать ты уже будешь с другого уровня. Что я делал последние 2 года? Раз в полгода я устраивал экзамены, на которые приглашал разных профессоров с очень простой целью – выдать моих учеников «замуж», т.е. «продать». Профессор принимает экзамен. Какие умные детки, ему нравится. Нравится, а вот и возьмите этого ребеночка. С одним из таких учеников мне удалось их как-то подружить. Я хотел его спросить, а занимается ли он задачами, которые ему дали. Т.е. на 1-м курсе он может заниматься научной работой. Тем более по существу, один из них уже имеет две публикации. Я ему поставил задачу, решения которой я не знал. В отличие от большинства случаев, когда руководитель знает решение задачи, дает ее, но сам знает, как решить. А я не знал, как решить. Это такая комбинаторная задача. Я ее могу рассказать, потому что она доступна для широкого понимания.

Я дам задачку. Имеется прямоугольное клетчатое панно, m´n, 100´300, например. В каждой клеточке есть лампочка и есть переключатель. Лампочка может как гореть, так и не гореть, т.е. она находится в одном из двух состояний. Если Вы нажимаете на переключатель, то лампочка и все соседние с ней лампочки меняют состояние. Т.е. если они горели, они потухнут, если они не горели, они зажгутся. Одновременно все соседние, т.е. имеющие хотя бы одну общую точку. Вопрос: при каких размерах панно m´n при любой изначально конфигурации горящих лампочек существует алгоритм их все потушить, последовательно нажимая кнопки. Задача ясна? Т.е. Вы нажимаете. Какие-то зажглись, какие-то потухли, какие-то зажглись, какие-то потухли. Ваша цель – все их погасить. Может быть вначале начнут больше гореть, а Вы затем их все потушите. Существует ли алгоритм, который позволяет любую заданную конфигурацию погасить? Вот эта задача им была полностью исследована и решена.

— А у Вас в начальных классах происходит похожее примерно на то, что описал А. Звонкин в своей книге? Есть ли подобные книги, написанные на простом языке. Может быть Ваши или тех, кого Вы можете порекомендовать именно про первоклашек, про совсем маленьких?

— Я.И.: Вы назвали замечательную книжку А. Звонкина «Математика для малышей». Я ее прочел, наверное, как и все, с огромным удовольствием. Это прекрасно написанная книжка. Но у меня совершенно противоположная методика и убеждения, чем у А. Звонкина. А. Звонкин, если Вы помните, в предисловии негативно высказывается о теории поэтапного формирования умственных действий, а я-то как раз по ней и работаю. Т.е. в отношении того КАК, у меня совсем по-другому. Но очень много сходных вещей на более высоком уровне, в том смысле, что он развивает, и я развиваю. Он ставит много задач, имеющих выход в большую математику, и у меня то же самое. Тут общая дорога, от которой не уйти. Единственно в чем разница? А. Звонкин в каких был условиях? У него был кружок раз в неделю – 4 человека. Я с этого начинал в 1989–91 гг. у меня были воскресные занятия в кружке при МЖК «Атом». Тогда я понял, что есть такая большая кружковая культура, она и сегодня существует. Вот есть обычные школы, а потом дети идут и занимаются в кружках, 1–2 раза в неделю. И получаются дополнения, как говорил Евгений Николаевич, есть основной столб и к нему дополнения в виде развивающих кружков. Я тогда остро почувствовал недостаточность этого всего, все это надо менять, менять этот столб. И кружки сделать основой. И они должны стать основным содержанием образования. А не дополнительным! Вот этот десерт должен стать основным блюдом. А став основным, он должен потерять свою форму, изменить свое содержание, т.к. у него уже другая роль и функция. Он не может быть на уровне отдельных задачек, которые развивают.
Он должен представлять собой стройную систему знаний, в рамках которой будут уже и другие задачки. Т.е. получается, приходится все менять. Всю конструкцию. В этом вся разница. Он вел кружок, а я веду занятия 4 раза в неделю, рассчитанные не на один год. И меняю всю программу, что не просто. Да и педагогическая основа другая – методика поэтапного формирования умственных действий и понятий.

— Вы хотя бы на диктофон записывайте.

— Я.И.: Я, наверное, неправильно подхожу. Мне кажется, если это кому-то нужно, то и записали бы.

— А Вы пустите на урок?

— Я.И.: Я никому не запрещаю, у меня уроки открытые. Ко мне приходят люди на уроки. Было бы место.
У нас просто очень маленькие помещения. У нас знаете, сколько людей учится с 1-го по 11-й класс? Примерно 250. Мало. Это бывшая лесная школа для коррекционных детей, а ее взяли и сделали для детей одаренных. В 2003 г. Она камерная, маленькая, как частная школа. Она похожа вот на эту школу всеми размерами и параметрами. Поэтому, когда Вы туда приходите, то и повернуться негде.

— А каковы перспективы?

— Я.И.: А вот какие перспективы я не знаю. Это надо спросить у администрации школы «Интеллектуал».

— Такая замечательная программа, три ученика, такие у вас методики наработаны. Это же обязательно надо думать о развитии материальной базы.

— Е.Н.: Да я, думаете, против? Что мы делаем. Во-первых, мы стараемся дать систему, чтобы это был не просто один человек, не просто один курс, а система. Система подразумевает воспроизводство. Мечта моей жизни, это сделать воспроизводящую систему преподавания математики, которую предложил Я. И. Прежде всего нам надо чтобы Я.И. этот весь курс проработал. Пока у нас был поисковый эксперимент – мы работали не в чистом виде, а с 6-го класса. Во-вторых, все это должно быть записано и апробировано. Молодые ребята, которые приходят, может быть, из его учеников, должны все это повторить под его руководством. Мы должны увидеть, что система повторяется. Потом мы должны показать это в других школах, посмотреть, кому это интересно. Найти те места, в которых захотят это дело внедрить. Если мы сейчас скажем: «Внедряйте», они скажут: «А вы дайте нам Я.И., мы и внедрим». А мы скажем, что не отдадим, мы с ним закончим.

— Надо проводить семинары для учителей.

— Е.Н.: Семинары для учителей – это курсы повышения квалификации. Т.е. мы вас собрали, мы вам рассказали много интересного и дали справку. Все. Дальше что? Ничего. Мы проводили 5 лет назад курс повышения квалификации для представителей республики Южная Корея. Они хотели, чтобы мы их научили работать с одаренными детьми. Так вот они приезжали с ноутбуками, конспектировали каждую букву. И что дальше? Дальше они решили, что приятно провели время. Это другая школа, другая ментальность, другая система, ничего не могут сделать. Там учитель не может больше 5 лет работать в одной школе. Он по закону, каждые 5 лет меняет место работы. Какую систему там можно создать?

— Новые, свои идеи.

— Е.Н.: Идеи в Корее запрещены. Там надо выполнять закон. А у нас анархия. Кто что хочет, то пусть и делает. И за счет нашей московской анархии мы еще можем что-то сделать!

— Почему сегодня здесь проходит конференция, а не в «Интеллектуале»?

— Я.И.: Я могу частично ответить. Заслуга Евгения Владимировича Маркелова в том, что эта лекция проходит именно здесь, огромная. Он взял на себя риск. Риск, который не брала на себя директор частной школы, где я проработал почти 20 лет. Она боялась, что кто-то пожалуется, ведь моя программа не утверждена. А он этого не побоялся со всеми вытекающими последствиями. Евгений Владимирович в этой школе, где мы с вами сейчас находимся, преподавал. Так что Маркеловские чтения не случайно проходят именно здесь!

— Основной предмет в школе «Интеллектуал» – это математика?

— Я.И.: Нет. Нет основного предмета. Это многопредметная школа, это не физматшкола. И на сегодняшний день наибольшего успеха добились наши коллеги биологи. Миру школа «Интеллектуал» больше известна как школа биологическая. Потому что там больше всего различных призов. Скажем, в этом году на региональном уровне биологи собрали призов больше, чем все остальные кафедры вместе взятые. Эта самая яркая кафедра.

— Правильно ли я понимаю, что в «Интеллектуале» есть разрыв со 2-го по 4-й класс? Но поскольку 2-й класс – это 1-й, который набран, и дальше этот разрыв будет сокращаться, то Вы просто физически не сможете один все это сделать. У Вас есть планы? Предположим, их нет, а наши дети уже учатся?

— Я.И.: Я ищу последователей. Чтобы была непрерывность, нужны молодые кадры. Это острейшая проблема.

— На следующий год это Вы будете вести и 2-й и 1-й классы?

— Я.И.: Да, и это очень плохо. Хотелось бы кому-нибудь отдать.

— У меня, Я.И., есть предложение. Не мог бы взяться за это вот этот Ваш ученик?

— Я.И.: Он строит сейчас свою научную карьеру. Он 24 часа занимается математикой, впитывает как губка, ему интересно. Как он может сейчас отвлекаться? Да, было бы хорошо, но его тоже можно понять. У него все шансы стать хорошим ученым. Кстати сказать, я не уверен, что он с 1-м классом сможет справиться. Он прекрасно смог бы, начиная с 6-го, даже с 5-го. Но в первом классе есть некая специфика.

— Какая требуется компетенция от последователей, какая подготовка?

— Я.И.: Хорошая математическая подготовка, на уровне хорошего технического вуза. Не обязательно мехмат, может быть МИФИ, физтех.

— Т.е. для начальной школы МИФИ годится.

— Я.И.: Да, годится, но с желанием подучиваться на ходу. И человек должен получать удовольствие от общения с детьми. Это минимум. Т.е. повар должен любить покушать. Надо получать от своей работы удовольствие, тогда она будет получаться. Она не будет сразу получаться, но в конце концов начнет получаться. У человека должна быть высокая степень рефлексии, т.е. он провел урок, пришел домой – проанализировал. Вот тут я ошибся, тут надо лучше сделать, а тут вот я изменю вот так. Такой человек быстро может подняться на высокий уровень. Подготовка к уроку, проведение урока, анализ. Особенно если есть под рукой кто-то, кто может помочь.

— У Вас нет проблемы снобизма у детей?

— Я.И.: Все проблемы реализуются. Все. Те, что Вы можете нарисовать теоретически, они в жизни реализуются. Конечно, есть снобизм. Но это нормально, особенно если у кого-то есть старшие браться и сестры. Вы знаете, когда небольшая разница, то снобизм возникает, когда разница запредельная – он исчезает. Я вспоминаю, что хуже всего было сдавать экзамены аспирантам. Потому что аспиранты самоутверждались перед студентами. А вот академикам... им было очень просто сдавать. Я однажды, получив двойку, пересдавал академику П.С. Александрову, мне повезло, что я получил двойку. А у него было только две оценки – четыре или пять. Четверку он ставил, если студент ничего не мог сказать, и это было для него ожидаемым. Он ожидал, что студент ничего не знает. Он ему все рассказывал и ставил четверку. И если студент что-то отвечал, он удивлялся непомерно – откуда он это знает – и ставил пятерку. И огорчался, что не имеет возможности рассказать. Вот такая у него была манера. Это был выдающийся человек.

— Я все-таки хочу вернуться к теме семинаров. Ведь это же один из способов поиска преемников, если их хорошо организовать, семинары.

— Я.И.: Вы знаете, вот такая форма , как вот сегодня у нас, ничему не учит. Нужна полевая форма. Чтобы человек пришел на урок, провел урок, проанализировал. Это все-таки практический навык преподавание, а не теоретический.

— Но ведь каждый учитель – индивидуальность, и у него могут появиться собственные идеи. Ведь он попадает в такую высокоинтеллектуальную и творческую атмосферу, что у него, как у индивидуальности, рождаются собственные идеи. Т.е., с одной стороны, это тиражирование, а с другой стороны, это может быть хорошая школа, хороший класс, но свой.

— Я.И.: Ну и прекрасно. Я вообще считаю, что человек не может копировать кого-то, иначе ему неинтересно будет работать. Интересно всегда делать свое. Здесь можно повторить слова В.В. Высоцкого: «Колея эта только моя. Выбирайтесь своей колеёй». Это просто призыв, показывающий, что можно вырваться из колеи, можно делать что-то такое, что выглядит как сумасшествие. Так делайте, вперед! Вначале можете попробовать сделать что-то похожее, чтобы встать на крыло, и когда почувствуете свою силу, почувствуете, что вы можете все, идите и делайте свою программу. Пожалуйста. Это пример, никто не говорит, что можно только так. Существующая система не предполагает, что можно только так. Я не хочу заменить одну жесткую систему другой жесткой системой. Это одна из возможных, совсем не обязательно лучшая. Она может быть первая, но отнюдь не лучшая. Можно в 20 раз лучше сделать. У меня вообще нет педагогического образования.

— Но ведь есть понятие «Государственный стандарт образования»?

— Е.Н.: Я работал в системе образования, еще в системе образования при МИФИ. Меня в начальную школу перевели, затем в школу «Авангард», я там директор. Когда Вы видите педагога профессионала и когда Вы видите педагога-неформала (я, например, себя отношу к неформалам), между ними разница на уровне интонации и выражения глаз, мимики и чего хотите. Дети это чувствуют безошибочно. Педагог у них ассоциируется на подкорке с занудством, скукой и чем-то очень правильным. А неформал у них ассоциируется на подкорке, что будет что-то интересное. Очень может быть, что ожидания не оправдаются. И у неформала всегда преимущество. Самое главное, он честно не знает, как надо проводить уроки. Он не знает, из каких типов урок состоит. Он по здравому смыслу ищет свою игру. И если он ее нашел, если он педагог по призванию, это будет его чистая игра безо всяких наслоений. Если он не нашел, значит это не его, он спокойно уходит. Без комплексов, ведь он же работает в другой области. Педагог всегда будет действовать как надо, как правильно, всегда будет иметь гарантированный стандартный результат и ничего интересного.

— У меня вопрос не о стандартном результате. А о том, что есть общество, в котором мы все существуем, у общества есть какие-то требования к образованному человеку. К тому, который может создавать машину, лечить людей и т.д. Т.е. есть некое общественное требование стандарта, и на каждом месте будут проявляться какие-то пределы различий, пределы требований.

— Е.Н.: Я говорю как администратор. Государственный стандарт прописан. Понятие, какой должна быть школа, жестко формализовано. Оно, если честно, абсурдно. Вы понимаете, с одной стороны стандарты говорят о том минимуме, который надо. Но учителя-практики понимают, что этот минимум никогда никем не выполняется и выполниться не может. Заметьте, что педагогическая общественность очень любит наукообразные термины. Вот когда читаешь какую-нибудь директиву или программу, я ловлю себя на мысли, что я не знаю некоторых слов. И это болезнь. И педагоги, когда чувствуют свою ущербность, начинают ее восполнять наукообразными терминами. Это так, чисто эмоционально, то, что касается стандартов.

Представитель Филипповской школы:

По поводу стандартов. Это чрезвычайно вредная штука – образовательный стандарт. Сама идея образовательного стандарта происходит от глубокого непонимания природы образования, как вида человеческой деятельности. Непонимание того, чем работа с человеком незнающим при преобразовании его в человека, знающего все больше и больше, отличается от обработки деталей на токарном станке. Вот к последнему процессу понятие стандартов вполне применимо. И оно обязано применяться. А вот всякая попытка применения стандарта к образованию, она ничего не вызывает кроме глубочайшего кризиса образования, и это совершенно не зависит от его содержания.