Математика меняет структуру мышления
и даже речи
Филипп Молодцов,
студент 1-го курса факультета прикладной математики и информатики МФТИ
студент 1-го курса факультета прикладной математики и информатики МФТИ
— У Якова Иосифовича я учился с самых первых лет в школе «Интеллектуал» и до конца 8-го класса. Тогда было много математических школ, но «Интеллектуал» считался одной из лучших. Там была куча вступительных экзаменов даже в начальные классы. А то, что у меня хорошо получалось заниматься математикой, родители выяснили во время подготовки к 1-му классу.
И мои первые впечатления были очень приятными. Яков Иосифович рассказывал всегда что-то интересное и что-то очень похожее на какие-то… Я даже не знаю! Фокусы, что ли! Какие-то очень прикладные вещи, о которых мы задумываемся. Все это было похоже на игру, и в то же время многие взрослые не понимают, как решать эти задачки. Например, задача про переправу. Как переправить семью – мама, папа и сын – через мост с учетом того, что кто-то ходит быстрее, кто-то может кого-то брать на руки. Или известная задача про переправу, но с участием волка, козы и капусты. Задачи эти казались нам в первых классах забавными и нерешаемыми. Хотя, если подумать и применить логику, то все просто.
Казалось бы, какое все это имеет отношение к математике?
И мои первые впечатления были очень приятными. Яков Иосифович рассказывал всегда что-то интересное и что-то очень похожее на какие-то… Я даже не знаю! Фокусы, что ли! Какие-то очень прикладные вещи, о которых мы задумываемся. Все это было похоже на игру, и в то же время многие взрослые не понимают, как решать эти задачки. Например, задача про переправу. Как переправить семью – мама, папа и сын – через мост с учетом того, что кто-то ходит быстрее, кто-то может кого-то брать на руки. Или известная задача про переправу, но с участием волка, козы и капусты. Задачи эти казались нам в первых классах забавными и нерешаемыми. Хотя, если подумать и применить логику, то все просто.
Казалось бы, какое все это имеет отношение к математике?
Ну, во-первых, математика в младшей школе по большей части напоминает игру. А во-вторых, в этих заданиях ты применяешь какие-то соображения, которые позже помогут решать более сложные задачи. Всегда интересно решать задачки на смекалку, которые граничат с математикой, а математические модели, которые возникали во время решения, пригодились нам позже. И на самом деле понятия, которые возникают в старших классах, например, уравнения, возникали у нас где-то в классе первом-втором из абсолютно естественных соображений.
Поэтому такие игровые задания были полезны и с точки зрения развития математического мышления, и с точки зрения интереса к уроку.
И Яков Иосифович максимально пытался привести нас к тому, чтобы мы были уверены в собственном опыте. Не так, чтобы он сказал: вот такой-то материал, такие-то решения. Нет! Он делал так, чтобы мы всем классом задумались: а что же он имеет в виду, а что же там на самом деле. Он хотел, чтобы мы до всего доходили самостоятельно, и это было ценно для каждого из нас.
И он спрашивал: «А что если так?», потом мы общались, он приводил примеры или показывал, в чем мы не правы, а потом концентрировал наше внимание на том, что действительно важно с точки зрения математики. В этом специфика того, как он преподносил материал.
Как правило 1–2 человека из класса со стопроцентной вероятностью решали упражнения правильно. Дети все сообразительные, и программа выстроена так, что до всего можно додуматься самим. По крайней мере, на первых порах. И если кто-то не понимает задачу, кто-то из тех, кто понял, излагает решение на весь класс. Ну, или Яков Иосифович объясняет чуть более понятно.
И Яков Иосифович максимально пытался привести нас к тому, чтобы мы были уверены в собственном опыте. Не так, чтобы он сказал: вот такой-то материал, такие-то решения. Нет! Он делал так, чтобы мы всем классом задумались: а что же он имеет в виду, а что же там на самом деле. Он хотел, чтобы мы до всего доходили самостоятельно, и это было ценно для каждого из нас.
И он спрашивал: «А что если так?», потом мы общались, он приводил примеры или показывал, в чем мы не правы, а потом концентрировал наше внимание на том, что действительно важно с точки зрения математики. В этом специфика того, как он преподносил материал.
Как правило 1–2 человека из класса со стопроцентной вероятностью решали упражнения правильно. Дети все сообразительные, и программа выстроена так, что до всего можно додуматься самим. По крайней мере, на первых порах. И если кто-то не понимает задачу, кто-то из тех, кто понял, излагает решение на весь класс. Ну, или Яков Иосифович объясняет чуть более понятно.
Еще у него всегда есть подсказки. А чтобы стимулировать нас изучать английский язык, эти подсказки на английском. Кто знал язык, имели преимущество. Кто не знал – это мотивирует изучать. А если не знаешь и учить нет желания, решай задачи чуть более продуктивно, будь умнее. Выбирай, что для тебе проще!
Я был таким середнячком. Мне, в принципе, все было понятно, кроме каких-то уж очень сложных вещей, но когда учитель или кто-то из ребят объяснял, мне становилось понятно окончательно.
Могу сказать так: в принципе, все мои знания в математике, все, что я помню, я могу вывести самостоятельно. Например, помню, когда я в третьем или четвертом классе на геометрии вместе с моим другом вывел свойство касательной: если провести прямую от центра окружности к прямой, которая ее касается, то угол, под которым она будет пересекаться, будет прямым. Я прямо помню, как вывел это доказательство!
И это оказалось очень интересным результатом понимания чего-то неочевидного. Но когда ты сам доказываешь, то понимаешь все очень ясно.
И совершенно естественно было пройти в младшей школе темы за 5–6-й классы, а в старшей школе – программу первого курса. Все, что мы проходили, строилось на авторских конспектах Якова Иосифовича, а не на обычных учебниках. И задания обычно были на то, чтобы выводить доказательства. Из-за этого уроки проходили интенсивно. Не было одной конкретной темы урока, которую дети обычно проходят очень медленно.
Могу сказать так: в принципе, все мои знания в математике, все, что я помню, я могу вывести самостоятельно. Например, помню, когда я в третьем или четвертом классе на геометрии вместе с моим другом вывел свойство касательной: если провести прямую от центра окружности к прямой, которая ее касается, то угол, под которым она будет пересекаться, будет прямым. Я прямо помню, как вывел это доказательство!
И это оказалось очень интересным результатом понимания чего-то неочевидного. Но когда ты сам доказываешь, то понимаешь все очень ясно.
И совершенно естественно было пройти в младшей школе темы за 5–6-й классы, а в старшей школе – программу первого курса. Все, что мы проходили, строилось на авторских конспектах Якова Иосифовича, а не на обычных учебниках. И задания обычно были на то, чтобы выводить доказательства. Из-за этого уроки проходили интенсивно. Не было одной конкретной темы урока, которую дети обычно проходят очень медленно.
У нас несколько тем могли пролететь за один урок! Поэтому мы шли гораздо быстрее школьной программы. Кроме того, наши уроки в первых классах включали олимпиадные задачки для 3–4–5-го классов.
У меня в начальной школе были довольно хорошие результаты, я занимал первые места, но позже я не очень-то хотел решать именно олимпиадные задачи. Мне стало интереснее изучать математику в более широком спектре. Так что мои олимпиадные результаты становились все хуже и хуже. А к 5-му классу я перестал участвовать в них.
У меня в начальной школе были довольно хорошие результаты, я занимал первые места, но позже я не очень-то хотел решать именно олимпиадные задачи. Мне стало интереснее изучать математику в более широком спектре. Так что мои олимпиадные результаты становились все хуже и хуже. А к 5-му классу я перестал участвовать в них.
Но ближе к старшей школе благодаря знаниям, которые я получил у Якова Иосифовича в младших классах, я начал снова побеждать в олимпиадах. Возобновить участие в них мне понадобилось для поступления в вуз. Я стал призером многих олимпиад по информатике, что позволило мне поступить в лучший, на мой взгляд, вуз по этому направлению.
Почему я решил вернуться к олимпиадам? После 8-го класса я ушел из «Интеллектуала», потому что решил сосредоточиться на профильных предметах. Я перевелся в лицей Высшей школы экономики. Это очень престижная школа со вступительными экзаменами, которые надо пройти с высоким баллом. Этот лицей был в рейтингах лучших московских школ по многим показателям.
В общем, я решил, что в лицее ВШЭ мне будет чуть проще готовиться к поступлению в университет. И в это же время я понял, что мне нравится заниматься чем-то на стыке информатики и математики.
Хотя математика у меня после 8 лет обучения у Якова Иосифовича была уже вузовского уровня. А вузовская математика не связана с олимпиадными задачами, она более общая и абстрактная. Она формирует мышление, а не учит решать задачи определенного типа, которые встречаются на олимпиадах.
Почему я решил вернуться к олимпиадам? После 8-го класса я ушел из «Интеллектуала», потому что решил сосредоточиться на профильных предметах. Я перевелся в лицей Высшей школы экономики. Это очень престижная школа со вступительными экзаменами, которые надо пройти с высоким баллом. Этот лицей был в рейтингах лучших московских школ по многим показателям.
В общем, я решил, что в лицее ВШЭ мне будет чуть проще готовиться к поступлению в университет. И в это же время я понял, что мне нравится заниматься чем-то на стыке информатики и математики.
Хотя математика у меня после 8 лет обучения у Якова Иосифовича была уже вузовского уровня. А вузовская математика не связана с олимпиадными задачами, она более общая и абстрактная. Она формирует мышление, а не учит решать задачи определенного типа, которые встречаются на олимпиадах.
Кстати, я знаю, есть мнение, что уроки Якова Иосифовича не готовят к формату ЕГЭ. Это не так. Мы были готовы, потому что последние годы обучения наши контрольные у Якова Иосифовича были устроены в формате единого госэкзамена. Мы решали реальные задачи для 11-го класса, просто чтобы понимать, как решать сомнительно простые задачи. Кстати, ЕГЭ по математике я сдал очень хорошо, набрал 98 баллов. Но в МФТИ я поступал без экзаменов как победитель Московской олимпиады школьников по информатике.
В вузе я как раз прохожу ту математику, к пониманию которой в чуть более общей форме я был готов после уроков Якова Иосифовича. У меня лучше развито абстрактное мышление, я быстрее понимаю некоторые сущности, которые обычным людям без практики воспринимать сложно.
Я даже сейчас, на первом курсе, смотрю конспекты Якова Иосифовича. Они мне очень сильно пригождаются, чтобы вспомнить определенные темы, например, линейную алгебру, теорию групп, теорию колец, теорию полей. К слову, теория групп – это конспекты за шестой или седьмой класс.
На самом деле математика, когда ты ею системно занимаешься, входит в структуру твоего мышления, даже в структуру речи. Не знаю, хорошо это или плохо, но замечаю эти изменения в себе. Они бросаются в глаза на фоне окружающих людей.
Сложно объяснить, но мои предложения имеют гораздо более жесткую структуру, чем у других. Это чувствуется, когда общаешься с большим количеством людей. Моя речь более подчинена законам математической логики. А это отдел математики, который изучается, по-моему, в первом классе. Я недавно нашел конспект с формулой про то, что истинно, а что ложно. Это алгебра логики из первого или второго класса.
Сейчас я учусь на первом курсе факультета прикладной математики и информатики МФТИ. Так случилось, что большая часть моей семьи никак не связана с математикой – они музыканты. Поэтому я понимаю, что имеют в виду те, кто говорят, что математика имеет отношение ко всему, даже к поэзии и музыке.
Я даже сейчас, на первом курсе, смотрю конспекты Якова Иосифовича. Они мне очень сильно пригождаются, чтобы вспомнить определенные темы, например, линейную алгебру, теорию групп, теорию колец, теорию полей. К слову, теория групп – это конспекты за шестой или седьмой класс.
На самом деле математика, когда ты ею системно занимаешься, входит в структуру твоего мышления, даже в структуру речи. Не знаю, хорошо это или плохо, но замечаю эти изменения в себе. Они бросаются в глаза на фоне окружающих людей.
Сложно объяснить, но мои предложения имеют гораздо более жесткую структуру, чем у других. Это чувствуется, когда общаешься с большим количеством людей. Моя речь более подчинена законам математической логики. А это отдел математики, который изучается, по-моему, в первом классе. Я недавно нашел конспект с формулой про то, что истинно, а что ложно. Это алгебра логики из первого или второго класса.
Сейчас я учусь на первом курсе факультета прикладной математики и информатики МФТИ. Так случилось, что большая часть моей семьи никак не связана с математикой – они музыканты. Поэтому я понимаю, что имеют в виду те, кто говорят, что математика имеет отношение ко всему, даже к поэзии и музыке.
Недавно в летней школе я встретил человека, который разбирал теорию музыки и нашел закономерность, которая преподается в музыкальных школах, но которую можно выразить на языке теории групп. А если говорить точнее, то речь идет о том, что кварта и квинта, говоря про музыкальные интервалы, порождают все ноты, и это имеет выражение на языке математики. Забавно, что большинству учителей музыки трудно это понять на математическом языке, но при этом они используют это в своей работе на очень глубоком уровне.
В лицее Высшей школы экономики я веду кружок по олимпиадной информатике, рассказываю, что делать, чтобы побеждать в олимпиадах. Уверен, что в работе с учениками использую какие-то ходы и приемы, которые были у Якова Иосифовича.
Мне хочется, чтобы урок проходил более интерактивно, чтобы после того, как я раскрыл материал, ученики сами могли задать себе вопросы и сами же на них ответить.
То есть если сравнивать с программированием, то я не хочу писать код за ученика. Хочу, чтобы он сам написал, проверил, понял, где ошибся… То есть манеру ведения уроков Якова Иосифовича я взял за одну из основных составляющих.
Мне хочется, чтобы урок проходил более интерактивно, чтобы после того, как я раскрыл материал, ученики сами могли задать себе вопросы и сами же на них ответить.
То есть если сравнивать с программированием, то я не хочу писать код за ученика. Хочу, чтобы он сам написал, проверил, понял, где ошибся… То есть манеру ведения уроков Якова Иосифовича я взял за одну из основных составляющих.
